Лекция 12

Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

f (x ) f (x ) ...

f (n) (x ) 0,

а функция f (n 1) (x) непрерывна в точке x

f (n 1) (x ) 0

- при четном n точка x0

- точка перегиба графика функции, т.е.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

477.32 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 12. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости. Точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба. Общая схема исследования функции.

Лекция 12

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ (продолжение)

1.Выпуклость и вогнутость графика функции

Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале a,b .

Определение 1. (Выпуклая функция)

Кривая графика функции y f (x) на отрезке a,b называется выпуклой, если все точки графика данной функции лежат ниже любой касательной, проведенной к графику функции на интервале a,b (условие должно выполняться для

x a,b : x x0 см. рис.1).

a	x1	x2	x3	b

Рис.1.

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале a,b .

Определение 2. (Вогнутая функция)

Кривая графика функции y f (x) на отрезке a,b называется вогнутой, если

все точки графика данной функции лежат выше любой касательной,
проведенной к графику функции	на интервале	a,b	(условие должно
выполняться для x a,b : x x0	см. рис.2).

a	x1	x2	x3	b

Рис.2.

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема на интервале a,b .

Теорема 1 (достаточное условие выпуклости (вогнутости))

Если x a,b
Если x a,b	f (x) 0	( f (x) 0), то график функции является

выпуклым (вогнутым) на интервале a,b .

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

непрерывна на отрезке a,b .

Доказательство:

Так как функция f (x) как минимум два раза дифференцируема на интервалеa,b , то в каждой точке кривой существует касательная, уравнение которой представим в виде:

yкас f x0 f (x0 ) x x0 , где x0 a,b .	(1)
Разложим функцию f (x) по формуле Тейлора в окрестности точки	x0 ,

используя одну производную в многочлене Тейлора и остаточный член в форме Лагранжа

f (x) f x0 f (x0 ) x x0

f ( )

x x0

x0 , x .

, где

(2)

Найдем разность

f (x)

f ( ) x x0

кас

(3)

x a,b получим, что f

По условию теоремы для случая f (x) 0

( ) 0

и тогда yкас f (x) 0 , т.е. касательная во всех точках интервала a,b лежит выше графика функции. (кривая выпукла)

	x a,b получим, что
Для случая f (x) 0		f	( ) 0 и тогда
yкас f (x) 0 , т.е. касательная во всех точках интервала			a,b лежит ниже
графика функции. (кривая вогнута).

2.Точки перегиба

Определение 3. (Точка перегиба)

Пусть функция f (x)

Точка xП , отделяющая выпуклую часть графика функции от вогнутой части, называется точкой перегиба функции.

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

Теорема 2. (Достаточное условие существования точки перегиба)

Пусть	функция f (x) дважды		дифференцируема		в	O x0 ,	за
исключением, может быть, самой точки x0 .
Если в	точке	x0 выполняется	одно	из условий	: f (x0 ) 0		или
f (x0 ) ,	и при	переходе через точку x0		вторая производная функции
f (x) меняет знак, то точка x0 - точка перегиба функции, т.е. x0					xП .

(Без доказательства).

Теорема 4. (Необходимое условие существования точки перегиба)

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в O x0 .

Если x0 xП , то f (x0 ) 0 . (Без доказательства).

Пример 1. Определить участки выпуклости (вогнутости) графика функции f (x) x3 , а также найти точки перегиба.

Решение.

Функция f (x) x3 непрерывна на всей оси действительных чисел и бесконечно

дифференцируема во всех точках оси действительных чисел. Проверим достаточные условия выпуклости и достаточное условие существования точки перегиба:

f (x) 3x2 ;

f (x) 6x ;

x 0 f		-	т.е. на интервале ,0 функция	f (x) x	3	выпукла;
	(x) 0
x 0 f		-	т.е. на интервале 0, функция	f (x) x	3	вогнута;
	(x) 0

f 0 0 .

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

В точке x0 0 вторая производная равна нулю, и вторая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в точке x0 0имеет место перегиб функции xП 0 . (см. рис. 3)

f ( x)	2	0	2

x Рис.3.

Пример	2.		Определить участки выпуклости		(вогнутости)		графика	функции
f (x) 3
f (x) 3		x , а также найти точки перегиба.
Решение.

Функция			f (x) 3 x непрерывна	на всей	оси	действительных		чисел и
бесконечно			дифференцируема во	всех точках,		кроме x0	0.	Проверим

достаточные условия выпуклости и достаточное условие существования точки перегиба:

f (x)	1	;	f (x)		2	;

	33 x2			9 3 x5

		т.е. на интервале ,0 функция		3
x 0			f (x)		x вогнута;
	f (x) 0 -

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

т.е. на интервале 0,

функция

f (x)

x выпукла;

0 f (x) 0

lim

f (x) lim

lim f

;

(x) lim

x 0 0

x 0 0 9

3 x5

x 0 0

x 0 0 9

3 x5

В точке x0 0вторая производная не существует, потому,

что бесконечна,

вторая производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке

x0 0имеет место перегиб функции xП 0 . (см. рис. 4)

f ( x)

Рис.4.

Теорема 3.

(Достаточное условие существования точки перегиба по

n ой

прозводной )

Пусть

функция

f (x) , по крайней мере, n 1 раз дифференцируема в

O x0 .

Если в точке x0 выполняются условия:

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

-при нечетном n и f (n 1) (x0 ) 0 функция f (x) является выпуклой в некоторой окрестности точки x0 ;

-при нечетном n и f (n 1) (x0 ) 0 функция f (x) является вогнутой в некоторой окрестности точки x0 .

Доказательство:

Разложим функцию f (x) по формуле Тейлора в окрестности точки x0 ,

используя n производных в многочлене Тейлора и остаточный член в форме Лагранжа

f (i)

x x0

f n 1 ( ) x x0 n 1

f (x)

, где x0 , x .

(4)

n 1 !

i 1

По условию теоремы: f (x )

f (x ) ... f

(n) (x ) 0.

Тогда имеем

f (x) f (x0 )

f n 1 ( ) x x0 n 1

, где

x0 , x .

(5)

n 1 !

Уравнение любой касательной к графику данной функции некоторой

O x0

имеет вид:

yкас f (x0 ) .

(6)

Если при нечетном

n :

f n 1 ( ) x x0 n 1

0 , то

f n 1 ( ) 0 ,

так как

n 1 !

x x0

n 1

yкас f (x)

f n 1 ( ) x x0 n 1

и касательная в

n 1 !

данной окрестности лежит выше графика функции, т.е. график является

выпуклым.

Если при нечетном			n :		f n 1 ( ) x x0 n 1				0, то	f n 1 ( ) 0, так как

						n 1 !
x x0	n 1	0 и	yкас	f (x)			f n 1 ( ) x x0 n 1			0 и касательная в
								n 1 !

данной окрестности лежит ниже графика функции, т.е. график является

вогнутым.

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

Если при	четном		n :		f (n 1()x	)	0, то при переходе	через	точку x	0	в
					0					0
некоторой	O x0		скобка		x x0 n 1		меняет знак ( с плюса на минус или с
минуса		на			плюс),		следовательно,		величина
yкас f (x)		f n 1 ( ) x x0 n 1				также меняет знак (и		также	касательная
yкас f (x)				n 1 !		также меняет знак (и		также	касательная

меняет свое расположение относительно графика функции с вогнутого на выпуклое или наоборот). Т.е. в данном случае x0 xП .

3. Общая схема (методика) исследования функции

Исследование функции (качественный анализ) целесообразно проводить

врамках следующей методики:

1.Найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность (нечетность) и периодичность.

3.Найти точки пересечения функции с осью Ox и осью Oy .

4.Найти точки разрыва функции: x1, x2 , x3 ,..., xn . В точках разрыва найти

пределы: lim

f (x) , lim f (x) .

x xi 0

В точках разрыва второго рода построить вертикальные асимптоты

функции.

Установить поведение функции в бесконечности:

lim f (x) и lim f (x) .

Найти параметры k lim

f (x)

b lim

f x kx

наклонных

асимптот (левой и правой), если они существуют. Построить наклонные

асимптоты.

Найти точки

экстремума функции

, x

, . . x. ,

и значения

0 3

функции в точках экстремума

,..., f

, если

они существуют.

Найти точки

перегиба функции

xП1, xП 2 , xП 3 ,..., xПk

интервалы

выпуклости (вогнутости) функции.

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

Пример 3.

Провести полное исследование функции f (x) 1 . x2 3x 2

Решение.

Учитывая,

что

f (x)

функция

определена

на

всей

x 1

x 2

числовой оси, за исключением точек x1 1

и x2 2.

Функция

f (x) является функцией общего вида ( не является четной или

нечетной). Функция f (x) не является периодической.

Пересечений с осью Ox нет.

Пересечение с осью

Oy в точке

4.Точки разрыва функции: x1 1 и x2 2.

5.Исследуем функцию в окрестности точек разрыва:

lim	f (x) lim	1		;

			x 2

x x 2 0	x x 2 0	x 1
x x 2 0	x x 2 0
lim	f (x) lim	1		;

			x 2

x x 2 0	x x 2 0	x 1
x x 2 0	x x 2 0
lim	f (x) lim	1		;

			x 2

x x 1 0	x x 1 0	x 1
x x 1 0	x x 1 0
lim	f (x) lim	1		.

			x 2

x x 1 0	x x 1 0	x 1
x x 1 0	x x 1 0

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

x 1 и

x 2.

		10
Таким образом,	точки x1 1 и x2	2 -		точки разрыва второго рода. В
данных точках	у функции f (x)		1		имеются вертикальные

			x 1	x 2

асимптоты:

6.Исследуем поведение функции в бесконечности:

lim

f (x) lim	1		0	;

		x 2
x
x	x 1
f (x) lim	1		0.

		x 2
x
x	x 1

7.Находим параметры наклонных асимптот:

Исследование по п.7 показало, что у функции и в минус и в плюс бесконечности есть только одна горизонтальная асимптота – функция yA 0 .

8.Исследуем функцию на экстремум:

f (x)

lim

x 23 0

lim

x 23 0

											2x 3
		1									2x 3					0 x0	3
		1															3	;
	x 1 x		2												2			;
													x 2			2
								x 1			2		x 2			2
										3
					2	x
					2	x				2
f (x)		lim								2				0 ;
f (x)		lim					2					2		0 ;
		2
				x 1					x		2
		x 3 0

										3
					2	x
					2	x				2
f (x)		lim								2				0.
f (x)		lim					2					2		0.
		2
				x 1					x		2
		x 3 0

Стаценко И.В. Лекция 12. Математический анализ.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024655.94 Кб0Лекция 1.pdf
#
16.05.2024484.06 Кб0Лекция 10.pdf
#
16.05.2024483.36 Кб0Лекция 11.pdf
#
16.05.2024477.32 Кб0Лекция 12.pdf
#
16.05.2024265.24 Кб0Лекция 13.pdf
#
16.05.2024278.18 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024394.75 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024391.73 Кб0Лекция 16.pdf
#
16.05.2024339.63 Кб0Лекция 2.pdf